Abordando a entropia: trabalhando os conceitos de microestados e macroestados com alunos de segundo ano do ensino médio

ARTIGO ORIGINAL

Abordando a entropia: trabalhando os conceitos de microestados e macroestados com alunos de segundo ano do ensino médio

Eliomácio Rabelo da Silva Cunha¹; Antônio de Sousa Marinho Filho²;Antônio Joel Ramiro de Castro³

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1. Introdução

A entropia é, em geral, ensinada ou tratada de forma superficial nos livros, textos de Ciências ou Física do ensino médio, isso quando não aparece como assunto complementar. Até mesmo no material de vários sistemas de ensino (grandes escolas particulares), quase não se vê acerca do assunto, talvez por ser pouco cobrado nos vestibulares e no Enem. Frequentemente tem-se uma unidade sobre o estudo da termodinâmica, sendo dedicado um ou dois capítulos (primeira e segunda lei da termodinâmica).

Quando se ensina ou apresenta, por exemplo, a Segunda Lei através de uma fórmula que fornece o rendimento de máquinas térmicas, negligencia-se muitas vezes o significado e a importância que essa tem no contexto atual. Em particular, o aspecto microscópico da lei é deixado de lado. Ora, fechar os olhos para isso é ignorar o aspecto estatístico da lei, seu significado e suas consequências nas aplicações modernas da Teoria das Probabilidades, da estatística, ampliando sobremaneira os métodos da Termodinâmica para outras áreas do conhecimento.

Assim, esse artigo explicita a proposta que objetiva levar aos alunos do segundo ano do ensino médio o conceito de entropia, os cálculos básicos de variação de entropia, aspectos estatísticos, possibilitando ao aluno do ensino médio entender a temática qualitativamente e quantitativamente. Propõe-se, então, uma abordagem prática e sua utilização nas várias transformações que ocorrem na natureza. No processo, é salutar frisar para eles as consequências do aumento da entropia, dos seus efeitos ambientais, científicos e até sociais.

Faz-se importante ressaltar que este trabalho é inspirado na dissertação de Mestrado de Nivaldo de Oliveira Gregio, texto no qual o autor constrói materiais didáticos para o ensino da entropia. A proposta de ensino ora apresentada pauta-se no uso desse material com algumas adaptações e complementos para o ensino dos conceitos de entropia no segundo ano das escolas públicas estaduais e no Instituto Federal do Ceará no Município de Morada Nova.

É de igual forma importante esclarecer que esse artigo não é simplesmente um exemplo de como fazer o ensino da entropia em sala de aula, mas uma seleção de conceitos, definições e ferramentas que possibilitem aos professores descobrirem a importância do ensino da entropia no nível médio, servindo como subsídio básico adequado para preparação de aulas as quais motivem os alunos, sejam significativas.

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2. Fundamentação teórica

2.1 Breve histórico

No final do século XIX, o físico austríaco Ludwig Eduard Boltzmann propôs e demonstrou o teorema – H, segundo o qual um gás inicialmente fora do equilíbrio termodinâmico atinge o equilíbrio após algum tempo, como consequência das múltiplas colisões entre suas moléculas; o estado do gás é matematicamente descrito por uma distribuição de velocidades das moléculas e, em particular, o estado de equilíbrio é descrito pela distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Esse processo é irreversível e a irreversibilidade é descrita pela existência de uma função H, negativo da entropia, que decresce. Às críticas e observações ao seu trabalho, Boltzmann respondeu que seu teorema é estatístico e representa o comportamento “mais provável” do gás.

No teorema H, H= -S= k ∫ dVp, p ,onde p é a distribuição de velocidades (probabilidades de um estado de velocidade) e dV é o elemento de volume no espaço de velocidades.

Após essas críticas, Boltzmann desenvolveu uma expressão para a segunda lei, obtida por contagem de microestados S  k ln  , onde S é a entropia e k , a constante de Boltzmann. A partir disso, os físicos adotaram uma nova forma de abordagem da natureza no estudo da termodinâmica, baseada em princípios da estatística.

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2.2 Teoria Matemática da Comunicação

 O presente artigo está associado à Teoria Matemática da Comunicação e à aprendizagem significativa proposta por David Ausubel. Essa teoria foi proposta pelo americano Claude Shannon (1916-2001) e por Warren Weaver nos anos 40 do século XX e tem como objetivo o estudo dos mecanismos de transferência de sinais. Shannon utilizou como modelo teórico a analogia com termodinâmica em que a entropia é definida como grau de desordem dentro do sistema. Em consequência, a teoria da informação possibilita a quantificação da informação ao nível do sinal, deixando de lado a informação semântica, ou seja, o conteúdo nocional.

Na teoria da informação, a quantidade de informação é inversamente proporcional à probabilidade de aparecimento de um sinal. A teoria de Shannon pretendia estudar as possibilidades de otimizar a transmissão das mensagens, compreendidas como sequências de signos, definidos por algum código, deixando de lado a parte do significado. Definiu-se também os componentes de um modelo de comunicação, tais como o emissor, o receptor, o canal, o código, a mensagem e o ruído.  As conclusões da dita teoria foram muito proveitosas para o desenvolvimento da telecomunicação e da sua junção com a inteligência artificial.

É importante salientar que, para que ocorra aprendizagem, parte-se do pressuposto de que os estudantes têm o que Ausubel chamou de “Subsunçor” (conhecimento prévio de matemática) para que ocorra uma Aprendizagem significativa conforme a proposta de Ausubel. Moreira (2011, p. 14) descreve a aprendizagem significativa como:

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O processo através do qual uma nova informação (um novo conhecimento) se relaciona de maneira não arbitrária e substantiva (não literal) à estrutura cognitiva do aprendiz. É no curso da aprendizagem significativa que o significado lógico do material de aprendizagem se transforma em significado psicológico para o sujeito.

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Para Ausubel (1963, p. 58), “a aprendizagem significativa é o mecanismo humano, por excelência, para adquirir e armazenar a vasta quantidade de ideias e informações representadas em qualquer campo de conhecimento”. Sendo Ausubel pertencente à linha cognitivista, o aprendiz atribui significado à realidade na qual o discente está inserido. Logo, a aprendizagem não ocorre de forma aleatória, não por acaso novos conhecimentos se estruturam fortalecendo conhecimentos já existentes.

2.3 Entropia 

No estudo da Primeira Lei da termodinâmica, há o estabelecimento da conservação da energia. Assim, pode-se imaginar muitos processos ou transformações termodinâmicas em que a energia se conserva e que, todavia, nunca ocorrem. Por exemplo: quando se coloca em contato dois corpos, um quente e um frio, não acontece do quente ficar mais quente e o frio ficar mais frio. Contudo, essa transformação não viola a primeira Lei da Termodinâmica.

O conceito de entropia aqui é como uma medida quantitativa da desordem de um sistema ou corpo. O termo desordem às vezes pode dar uma ideia diferente da que se pretende expressar. Entropia está associada com desordem e o enunciado da segunda lei que em processos naturais a entropia do sistema tende a aumentar é equivalente a dizer que a desordem do sistema tende a aumentar. Assim colocado, o sentido termodinâmico da palavra desordem é

para expressar que existe uma desorganização ou falta de ordem, nada mais que isso. Então, é viável tratar em primeiro lugar o aspecto qualitativo, dando um sentido intuitivo de equivalência entre entropia e desordem e, em segundo lugar, dar uma base sólida quantitativa para esta equivalência.

Para melhor compreensão quanto à relação entropia-desordem, é possível imaginar uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal que recebe certa quantidade de calor dQ e se expande. Considerando-se que o sistema inclui somente o gás ideal, a transformação isotérmica deste gás terá variação da energia interna nula, pois a energia interna é proporcional à temperatura absoluta. Logo, aplicando a primeira lei da termodinâmica, pode-se escrever que: dQ  dU  dW  dQ  dW, o trabalho infinitesimal dW realizado pelo gás é dado por dW  p.dV, então, na transformação isotérmica: dQ  p.dV, utilizando-se da equação de Clapeyron, escreve-se:

​​ , fazendo as devidas substituições, tem-se:

Com isso, a relação é a definição da variação infinitesimal da entropia.  Por conseguinte, pode-se concluir que a desordem é proporcional à variação da entropia num processo reversível infinitesimal. É possível compreender da seguinte forma:

O gás passa para um estado mais desordenado depois da expansão porque as moléculas se movem em um volume maior e suas posições tornam-se mais aleatórias.

Logo a variação relativa de volume dV/V fornece uma estimativa do aumento da desordem”, e a equação anterior mostra que essa razão é proporcional à grandeza dQ/T (YOUNG; FREEDMAN, 2004, p. 218).

Existe uma consideração essencial nessa relação entropia-probabilidade. A entropia, cuja variação é definida pela integral , é uma quantidade aditiva, enquanto a probabilidade é uma quantidade multiplicativa. Por exemplo: a probabilidade de jogar um dado e encontrar um quatro é de 1/6, mas ao lançar dois dados a probabilidade de obter um quatro é 1/6.1/6. Por outro lado, se um sistema A tem entropia SA e um sistema B tem entropia SB, um sistema C formado pelos sistemas A e B terá entropia SC = SA + SB.

Como, então relacionar entropia e probabilidade, se uma se soma e a outra se multiplica? A solução natural é que possam ser associadas através de uma função logarítmica.Sabendo, da matemática do ensino médio, que X = Y.Z, então log X = logY + log Z, portanto, o logarítmico é a forma lógica de relacionar essas duas grandezas (entropia e probabilidade).

Ludwing Eduard Boltzmann(1844-1906) em seus trabalhos publicados durante a década de 1870 mostrou que a segunda lei da termodinâmica é essencialmente uma lei estatística (GASPAR, 2000, p.378), mas a equação tal como se conhece foi proposta por Max Planck, no seu artigo em alemão “Ùber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum” de 1901.

Apesar disso, essa fórmula, famosa, encontra-se gravada no túmulo de Boltzmann, qual seja: S = k.lnW. Nessa equação, k é a constante de Boltzmann (k = 1,38.10-23J/K), e W é chamada de multiplicidade que corresponde ao número de microestados de uma configuração ou de um macroestado e S é a entropia da configuração. Nota-se que se utiliza a constante de Boltzmann que decorre de distribuições estatísticas, de energias e tempo, ou de velocidades e momento linear em função da temperatura absoluta (K) em determinada região do espaço com posições definidas x, y, z.

Fazendo a conexão entre a teoria de informação de Shannon e a entropia, é possível afirmar que a entropia é uma função logarítmica e que os Bits( 0 e 1) consistem na base mais comum para se tratar informação. Assim, pode-se utilizar a equação St = C.logW na base 2 como a Entropia associada coma multiplicidade de microestados, porém para facilitar as comparações manteremos a base e introduzindo a constante C que se refere à constante para mudança à base de interesse.

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2.2.1 Variação da entropia

 A variação da grandeza entropia define se um processo é reversível ou irreversível, pois, como já é sabido, em todos os processos irreversíveis em um sistema fechado a entropia aumenta. A pergunta que surge é: como determinar a variação de entropia?

Figura 1- ​​ Transformação isotérmica reversível. Fonte ​​ Gregio (2016).

Voltando à expansão isotérmica reversível: ao imaginar que o sistema em consideração corresponde a certa quantidade de gás ideal confinada (fronteira – ver figura acima) no interior de um cilindro construído com paredes adiabáticas, cuja base seja uma fonte de calor mantida a uma temperatura constante T. Como a base é mantida a uma temperatura constante, o gás terá uma temperatura fixa. Esse cilindro é provido de um êmbolo que pode se movimentar sem atrito; sobre o êmbolo móvel coloca-se um recipiente contendo certa quantidade de pequenas bolinhas de chumbo. Merece atenção o fato de que a vizinhança neste caso inclui: as paredes do cilindro, o êmbolo, a base de aquecimento e o ambiente externo.

Para efetuar a expansão isotérmica reversível de um volume (Vi) até o volume (Vf), basta ir tirando uma bolinha de chumbo de cada vez e espera uma nova situação de equilíbrio, quando se atingirá um novo estado final, com a mesma temperatura inicial T e volume (Vf).

Determinando-se calor trocado (Qi ) a cada bolinha (i) retirada, pode-se encontrar a quantidade de calor total (QT) na retirada de N bolinhas, somando-se todas as contribuições de i=1 até i=N.

A entropia é uma função de estado assim como a pressão (p), a temperatura (T) e a energia interna (U). No caso desta expansão isotérmica reversível, a variação da entropia pode ser determinada pela simples divisão do calor total induzido pela temperatura T do sistema:

∆ST=∆QT/T. Logo, a variação total da entropia assim não depende da substância de trabalho.

Ressalta-se que se tudo ocorreu de forma reversível, a variação de entropia será nula e existem duas situações distintas e importantes a considerar: a entropia gerada em uma transformação irreversível e a entropia trocada entre o sistema e a vizinhança. O calor recebido pelo sistema sendo idêntico ao calor retirado da vizinhança, teremos: ∆QT = ​​ ∆Qv , e assim, ∆SU = ∆QT/T - ∆QV/T = 0. Vê-se a aplicação desse conceito determinando matematicamente a variação de entropia de uma transformação isotérmica de um gás ideal.

Como já demonstrado, tem-se a equação: dQ/T = nR. dV/T, e integrando os termos dessa equação de um estado inicial i para um estado final f, obtém-se:

 A integral do lado esquerdo dessa equação depende dos estados i e f naturalmente, usamos a isoterma para ir do estado inicial i para o estado final f, mas sendo dS = dQ/T uma função de estado, a variação delta S não dependerá da forma ou do caminho com que o sistema passa de um estado para outro, então:

​​ 

O índice R foi colocado em dQ para deixar claro que o calor deve ser trocado de forma reversível.

Da equação anterior, percebe-se que a variação da entropia 4 depende da energia transferida em forma de calor e da temperatura na qual o calor é transferido e como T é a temperatura absoluta, sempre positiva, o sinal, as variações da entropia são iguais ao sinal trocado.

3. Metodologia de aplicação

3.1 Recursos didáticos

O material necessário para desenvolver a proposta de trabalho compreende: vídeo, pedaços de gelo num recipiente, garrafa de café, caixinha de acrílico com bolinhas coloridas.

Para facilitar o entendimento do tema pelos alunos e a fim de tornar o assunto leve e prático alguns materiais tornam-se importantes na construção de uma aprendizagem mais significativa: passaremos inicialmente um (ou mais) vídeo coletado na internet para mostrar os conceitos de reversibilidade e irreversibilidade como transformações corriqueiras que muitas vezes nem se imagina existir, como o estourar de pipocas. Com isso, visa-se a despertar o interesse pela ocorrência do processo inverso, a pipoca se transformando em milho.

Levaremos também uma garrafa de café à sala de aula e pediremos a um aluno que segure a xícara com a mão enquanto se coloca café; o objetivo é a percepção de que a mão está esquentando enquanto o café esfria. Não vamos queimar mão de ninguém, é claro. Já imaginou o contrário: a mão ficar fria e o café esquentar?

Iniciaremos a aula assim: mostrando que tanto a pipoca se transformando em milho quanto o café quente esquentar ao receber calor de nossas mãos são processos que não violam um dos princípios mais fundamentais da natureza (a conservação da energia). É comum ouvir nas aulas de física ou mesmo de química que a “energia não se cria, não se perde, ela se transforma”, no entanto existem processos que, mesmo obedecendo ao princípio da conservação da energia, sofrem transformações somente em um sentido, são os chamados de processos irreversíveis.

Colocado assim, perguntar-se-á à turma o que seria necessário para ocorrer o processo inverso, se possível. A resposta à pergunta começaria pela prática de se colocar pedaços de gelo no interior de um copo ou outro recipiente transparente com o tampo aberto, colocado sobre a mesa da sala de aula tão logo deu-se início à aula. A essa altura, parte do gelo já estaria derretendo, sofrendo fusão. Supondo que não ocorrerão indagações por parte dos alunos nessa etapa, pois é comum se dissermos que para que a água obtida, a partir do gelo, volte a congelar é necessário retirar calor, colocando essa água no interior de um congelador (resposta da pergunta; o agente externo é quem torna possível esse congelamento). Esse congelamento, nessas condições, obedece ao princípio da conservação da energia, mas não ocorre espontaneamente em ambiente com temperatura acima de 00 C.

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3.2 Usando o baralho para mostrar o conceito de desordem

 Há que se ter algum princípio, além da conservação da energia, que defina o sentido de algo acontecer, expressando em qual sentido pode acontecer e no sentido contrário não. Num momento posterior descrito anteriormente, é possível esclarecer aos alunos que existe uma grandeza que define o sentido das transformações espontâneas, portanto, irreversíveis, que é a entropia: “Todos os processos irreversíveis em um sistema fechado são acompanhados por aumento de entropia” (HALLIDAY; RESNICK, 2012, p. 248).

Para mostrar que certas transformações só ocorrem num sentido e que nele há aumento da desordem, iremos utilizar como recurso didático um baralho, instrumento a partir do qual se mostra como as cartas estão organizadas, sendo ele novo ou as cartas estando separadas por naipes e numa ordem, por exemplo do ás até o rei, que corresponde uma configuração possível. Basta embaralhar para perceber facilmente que as cartas estão sendo tiradas de sua ordem inicial e que existe um número imenso de ordenamentos possíveis.

Portanto, recuperar a ordem inicial passa a ser uma questão de probabilidade, difícil de acontecer. O aluno aqui pode participar fazendo o embaralhamento. Ilustra-se com isso uma transformação irreversível, na qual o estado final (desordem) é uma situação mais provável de ocorrer espontaneamente que o estado ordenado inicial do baralho.

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3.3 Tornando quantitativo o termo desordem com o uso de painel

Como em todas as analogias entre o mundo macroscópico e os fenômenos envolvendo átomos e moléculas, existem limitações. A forma de contagem de configurações possíveis das cartas leva em conta que estas são distinguíveis umas das outras, no entanto, para gases, líquidos ou sólidos as partículas constituintes não são, a princípio, identificáveis uma a uma.

Para desenvolver uma linguagem mais precisa e quantificável em relação à associação entropia-desordem, consideraremos as configurações possíveis de um sistema fechado, relacionando-as com os conceitos de número de micro e macroestados possíveis, partindo de dois estados de energia E1 e E2 que podem ser ocupados com igual probabilidade por quatro partículas.

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Figura 2 - Sistema fechado com dois níveis de energia e quatro particular, que podem ocupar livremente qualquer um desses estados. Fonte: os autores

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Nesse sistema, cada macroestado é dado pela soma da energia total das quatro partículas. Os microestados correspondem às diferentes distribuições das partículas em cada um dos cinco macroestados possíveis: (4E1); (3E1+1E2); (2E1+2E2); (1E1+3E2); (4E2).

Buscando dar visibilidade e tornar quantitativo o termo desordem, utilizamos um painel onde representamos os dois níveis de energia. Usa-se também quatro cartelas de cores diferentes para representar as partículas, e suas configurações ilustram os microestados e os macroestados possíveis. Computando-se o total de microestados temos todas as configurações possíveis: